Question

求二阶导数y=√(a^2-x^2)的过程

网上有一个这样的题是做错的，正确的答案是：
-a²/(a²-x²)√(a^2-x^2)

Answer 1

解：直接求导相对麻烦点，不妨曲线救国：
y=√(a^2-x^2)
y^2=a^2-x^2
x^2+y^2=a^2
两边对x求导，得
2x+2y*y'=0
于是y'=-x/y
再对x求导一次：
y''=-(y+xy')/y^2
=-[y-x*(-x/y)]/y^2
=-(x^2+y^2)/y^3
=-a^2/y^3
=-a²/(a²-x²)√(a^2-x^2)
不明白请追问。

Answer 2

y‘=(1/2)(-2x)/√(a^2-x^2)=-x/√(a^2-x^2)
y''=-1/√(a^2-x^2)-x(x/√(a^2-x^2))/(a^2-x^2)
=(-(a^2-x^2)-x^2)/(a^2-x^2)√(a^2-x^2)
=-a²/(a²-x²)√(a^2-x^2)

Answer 3

y = √(a²-x²)
y' = (1/2)(-2x)/√(a²-x²) = -x/√(a²-x²)
y" = -1/√(a²-x²) -x(-1/2)(-2x)/[(a²-x²)√(a²-x²)]
= -1/√(a²-x²) -x²/[(a²-x²)√(a²-x²)]
= [-(a²-x²) - x²]/[(a²-x²)√(a²-x²)]
= -a²/[(a²-x²)√(a²-x²)]