Question

高等数学：请问二元函数究竟是什么样的。

比如f（x，y）={（x，y）|x+y>0}，这个函数的实质是坐标系上的一个区域，在y=x上方。但是还有二次函数z={（x，y）|x方+y方，（x，y）=D}。
数学小白就懵鸟，第二个不应该是空间上的一个很完整的曲面么。空间上岂不是有高度的坐标了？？？为什么两个都是二元函数？那第一个的z是什么样的表达式。
整体上都怎么明白，希望指点一下。多谢。

Answer 1

空间直接坐标系的确是有三根坐标轴的，X，Y,Z三轴分别表示横坐标，纵坐标和竖坐标；你说的这两个函数，都是Z=f(x,y)的二元函数，看一个函数的时候，你可以看他有几个自变量，那么这个函数就是几元函数，这两个函数的图象都是找（x,y,z）,只不过第一个函数特别点，对z没有要求，那么就是Z可以取任何数值,所以第一个图形是一块体,这块体垂直于xoy面,与xoy面相交的区域是y>-x;第二个函数是一个曲面，这个曲面在xoy面上的投影是D

Answer 2

函数的自变量决定函数的维度，所有的函数自变量都意味着空间的一个坐标轴，一般情况下，在高等数学中最多考虑到3维度的空间，即z=f（x，y，z），用这个角度来看的话，以上你所说的两个函数一定都是二元函数。
一元函数就是一条线，二元函数就是一个面，三元函数则代表体积。
f（x，y）={（x，y）|x+y>0}的几何意义是代表在直角坐标系上满足所有x+y>0即y>-x的点的集合，是一个无限大的平面。

z={（x，y）|x²+y²，（x，y）=D}其实不是z,x,y三个函数，它是用z来代表x，y的代数关系，等同于f（x，y）=… ，而它的几何意义是代表在直角坐标系上满足所有①（x，y）在平面D区域内；②f（x，y）满足题给已知条件z=…的平面区域。这是对x，y所在平面的两个限制。
如果有高度的坐标，你应该把第二个函数写为u={(x,y,z)丨z=x²+y²，(x,y)属于D}这样才好。

追问

呵呵 好像有点糊涂呢。。意思是，我那第二个例子里，面是没有厚度的，所以是属于二元函数，只不过这个面很霸道它是在空间上扭曲的它不平。它不同于第一个例子里那一半的无限大平面。面有了厚度才是三元函数。
而二元函数中z的引入是为了限定x与y的关系，表示他们不是相互无关的两个变量。
请问是这么理解么？小白一个，自学高数，一步一个坎。理解错了别生气。我一个号因为高数问的问题太多被当灌水被封了。

Answer 3

你看见过 和尚敲钟的钟 ，吗 就是 二次函数的立体化表达，用微积分来表示，就得二元函数