Question

求数学高手！！！！！！！！

一个直角梯形，它直角边上的中线平行于上底和下底，怎么证明它就是梯形中位线？
梯形中位线是梯形两边的中点的连线，中位线还平行于上底和下底，现在我只知道一条线它平分梯形一边，且平行于上底和下底，怎么证明它也平分另一边，是梯形中位线？
求数学高手帮忙证明，谢谢！！！

Answer 1

用平行线等分线段定理立即可证明它就是梯形中位线。
平行线等分线段定理：一组平行线在一条直线上截得相等的线段，那么在另一条直线上也截得相等的线段。
所以这条中线与梯形两腰的连点是中点，这条中线就叫做梯形的中位线。

Answer 2

这是一个定理，在证明中可以直接用
过梯形一腰中点平行于上下底的直线一定平分另一腰
由于现行中学教材有删减，还有就是顺序不一导致证明有难度，若要证明
1、可用平行线等分线段定理或用过三角形一边中点平行于另一边的直线一定平分第三边(教材中已删减)
2、用反证法比较简单
已知：梯形ABCD中AD∥BC,点E是AB中点，EF∥BC交CD于点F
求证：DF=CF
证明：假设DF与CF不相等
取CD中点F'
则：EF'是梯形的中位线
∴EF'∥BC
∵EF∥BC
∴过点E有两条直线EF'和 EF分别与BC平行
这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾
∴假设不成立，原命题成立
即：过梯形一腰中点平行于上下底的直线一定平分另一腰

注：在证明应用中，有了这个结论，才能说明这条线是梯形的中位线，不能直接说因为是中点，再加平行就直接说是梯形中位线。

Answer 3

设梯形上底为AB，下底为CD，AC为对角线，你所说的中线设为EF，E在AD上，F在BC上，EF交AC与G，
则G为AC中点，则EG为三角形ACD中线，EG=1/2*CD
F为BC中点，则FG为三角形ABC中线，FG=1/2*AB
所以中位线：EF=EG+FG=1/2*CD+1/2*AB=1/2*（AB+CD）

Answer 4

证明：
设梯形ABCD，AB⊥CD，AD∥BC，EF∥AD交AB，CD于E，F，且点E是AB的中点。
过点D作DM⊥BC 交EF于N
∴DM=AB
同理：DN=AE，,MN=BE
即：N是DM的中点。
∵Rt△DNF∽Rt△DMC
∴DN：DM=DF：DC
∵DN=½DM
∴DF=½DC
即：点F是DC的中点。
∵EF∥AD∥BC
点E是AB的中点，点F是CD的中点
∴EF是梯形ABCD的中位线。

Answer 5

连接直角所对的斜边AC，出现有平行就会出现相似，用相似 就可以证明中中线等于上下底和的一半