Question

一道数学题！！！求解析！！拜托啦！谢谢大家！！

函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x-1）都是奇函数，则（）
A.f（x）是偶函数。
B.f（x）是奇函数。
C.f（x）=f（x+2）。
D.f（x+3）是奇函数。

Answer 1

函数f(x)定义域R,若f(x+1)与f(x-1)奇函数
Af(x)是偶函数 Bf(x)是奇函数C f(x)=f(x+2) Df(x+3）是奇函数
解析：∵函数f(x)定义域R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数
∴f(x)关于点(-1,0)中心对称，且关于点(1,0)中心对称
当f(x)关于点(-1,0)中心对称时，满足f(x)+f(-2-x)=0；
当f(x) 关于点(1,0)中心对称时，满足f(x)+f(2-x)=0；
∴f(-2-x)=f(2-x)
令x=-2-x
代入上式得f(x)=f(x+4)
所以，f(x)为最小正周期是4的周期函数
若函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是其一个周期。
4|a-b|=4==>|1-b|=1==>b=0
∴f(x)图像关于直线x=0左右对称
∴f(x)为偶函数
选择A

验证：函数y=cos(π/2*x) 偶函数
其最小正周期T=2π/(π/2)=4
左移一个单位y=cos(π/2*(x+1))=-sin(π/2*x)为奇函数
右移一个单位y=cos(π/2*(x-1))=sin(π/2*x)为奇函数

Answer 2

【分析】
首先由奇函数性质求f（x）的周期以及对称中心，然后利用所求结论来分别判断四个命题即可。
【解答】
解：
∵f（x+1）与f（x-1）都是奇函数
∴f（-x+1）=-f（x+1），f（-x-1）=-f（x-1）
∴函数f（x）关于点（1，0）及点（-1，0）对称，不是奇函数也不是偶函数，A、B错
又因为：
函数f（x）是周期T=2[1-（-1）]=4的周期函数，所以C错
∴f（-x-1+4）=-f（x-1+4）
f（-x+3）=-f（x+3）
f（x+3）是奇函数，D成立
故只有D为真命题．故答案为：D.f（x+3）是奇函数。

追问

其实我的疑问是这个：f（x+1）是奇函数，那么-f（x+1）不是应该等于f（-（x+1））么？不懂啊……求解释，谢谢啦~

Answer 3

推荐答案才是对的
例证：设y=g(x)是奇函数，所以g(x)=-g(-x)
令g(x)=f(x-1);-g(-x)=-f(-x-1)，
所以是f(x-1)=-f(-x-1)
如果是把它提出的话，就变成把x+1看成t,
成了f(-t)=-f(t)
所以f(x)是奇函数了，而不是要求的f(x-1)是奇函数

f(x+1)是不是奇函数，要用f(-x)=-f(x)来判断，前提就是知道f(x+1)的解析式，没有解析式是不能判断的，大家都举了很多例子

结论：奇函数与偶函数的性质中的研究对象都要指的单独变量x本身的改变。

Answer 4

.f（x+3）是奇函数。

Answer 5

D.f（x+3）是奇函数。