Question

高数求极限 一道 不用洛必达法则

lim (x+e^x)^(1/x) (x––>0)

Answer 1

用特殊极限 lim(1+x)^(1/x) (x––>0) =e 来做，用两次
原式=lim(1+e^x +x -1)^(1/(e^x +x-1))(e^x +x-1)(1/x) (x––>0)
只需求 (1+e^x +x -1)^(1/(e^x +x-1)) (x––>0) 和 (e^x +x-1)(1/x) (x––>0)
第一式为据特殊极限e 现要求第二式 如下
x=ln(e^x +1-1) 用该式来特换 第二式的分母，再将式子加以整理，用特殊极限就可以了
后面的就由你来完成了

Answer 2

原式=e^lim(ln(x e^x)/x)
=e^lim{[ln(x/e^x 1) lne^x]/x}
=e^lim[1 ln(x/e^x 1)/x]
=e^{lim[ln(x/e^x 1)/(e^x/x)] 1}这步中因为e^x=1所以在分母上乘了一个e^x
lim[ln(x/e^x 1)^(e^x/x)]=lne=1
故原式=e^2