Question

高等数学，第二类曲线积分题目求解惑

A(0，-1),B(1,0)，AB为单位圆在第四象限的部分。

请问这题是路径无关嘛？可以用特殊路径法解嘛？
我求出来的P对x的导数和Q对y 的导数是相等的。最后答案是0.
但是我如果用参数方程直接求，答案是1.
能帮我分析一下错在哪里了嘛？

Answer 1

是与路径无关，可以用特殊路径积分，可选（0，-1）→（0,0）→（1,0）积分结果是0
你选参数方程应该选x=cost,y=sint,t:-π/2→0,结果也是0

追问

但是正确答案是1

追答

我的路径选错了，非常对不起，因为（0,0）点偏导数不连续。
可选（0，-1）→（1,-1）→（1,0）

Answer 2

正确答案应该是1。
aP/ax=aQ/ay，因此积分与路径无关。
注意：积分与路径无关不是说积分值就是0，而是积分值不会随着路径的变化而变化，
因此你可以选择合适的积分路径，比如连接AB的直线段。
另外，要注意的是aP/ax=aQ/ay是有条件的，
必须x不等于y的地方，也就是去掉y=x这条直线。
因此选择路径时这条路径上不能有y=x上的点。
对本题而言，选择单位圆这条积分路径就可以了。
用单位圆的参数方程计算就可以了

追问

有一点还不太明白，像这一题，在(0,0）这点，aP/ax=aQ/ay是不存在的对吧，那么这题到底是与路径无关还是与路径相关呢？可否选不经过(0,0）这点的折线段进行积分呢？

追答

上面说的很清楚了，只要在aP/ax=aQ/ay的区域内就是积分与路径无关。因此将全平面分为
两部分，一部分是y>x的区域，一部分是y<x的区域，这两个区域内都是积分与路径无关的。
本题中的点A，B都在y<x的区域内，因此随便选一条从A到B且总是满足y<x的路径，积分值
就都是一样的。一定不能选经过(0,0)的路径，因为(0,0)在y=x上，已经不属于积分与路径无关的
区域内了。