Question

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已知函数f(x)=e^x,函数g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y=x对称，h（x）=kx+b。设h(x)的图象与f(x)的图象和g(x)的图象均相切,切点分别为(x1,e^x1)和(x2,g(x))，其中x1＞0.若当x≥x1时，关于x的不等式（ax2-x+1）e^x+x≤0恒成立，求实数a的取值范围．（答案：a≤1）

Answer 1

因g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y=x对称
则g(x)与f(x)互为反函数
易知g(x)=lnx

对f(x)求导：f'(x)=e^x
对g(x)求导：g'(x)=1/x
因h(x)与f(x)和g(x)均相切，切点处斜率相等，并等于h(x)斜率
则有f'(x1)=g'(x2)=k，即e^x1=1/x2=k（I）
又两个切点都在h(x)上，则有：
e^x1=kx1+b（II）
lnx2=kx2+b（III）
由（I）（II）（III）得：
e^x1=(x1+1)/(x1-1)（IV）
x2=(x1-1)/(x1+1)（V）
且因x1>0，由（IV）知x1>1

当x≥x1时，关于x的不等式(ax2-x+1)e^x+x≤0恒成立
则x=x1时有(ax2-x1+1)e^x1+x1≤0
将（IV）（V）代入上式有
[a(x1-1)/(x1+1)-x1+1][(x1+1)/(x1-1)]+x1≤0（注意到x1>1）
即a(x1-1)-(x1-1)≤0（注意到x1>1）
即a≤1

Answer 2

不会