Question

用夹逼准则求极限

鐢ㄥす閫煎噯鍒欐眰鏋侀檺

Answer 1

1/(n²+n)+ 2/(n²+n)+...+n/(n²+n)<1/(n²+1)+ 2/(n²+2)+...+n/(n²+n)<1/(n²+1)+2/(n²+1)+...+n/(n²+1)
(1+2+...+n)/(n²+n)<1/(n²+1)+ 2/(n²+2)+...+n/(n²+n)<(1+2+...+n)/(n²+1)
[n(n+1)/2]/(n²+n)<1/(n²+1)+ 2/(n²+2)+...+n/(n²+n)<[n(n+1)/2]/(n²+1)
½<1/(n²+1)+ 2/(n²+2)+...+n/(n²+n)<(n²+n)/(2n²+2)
而
lim (n²+n)/(2n²+2)
n→∞
=lim (1+ 1/n)/(2+ 2/n²)
n→∞
=(1+0)/(2+0)
=1/2
由夹逼准则，得：
lim 1/(n²+1)+ 2/(n²+2)+...+n/(n²+n)=1/2
n→∞