Question

设函数f(x)=x^3-3ax^2+3b^2x(a,b∈R),若0<a<b,不等式f((1+lnx)/(x-1))>f(k/x)对任意x∈(1.+∞)恒成立,

求整数K的取值范围

Answer 1

f'(x)=3x^2-6ax+3b^2=3(x-a)^2+3(b^2-a^2)>0恒成立，故f(x)为增函数，不等式f((1+lnx)/(x-1))>f(k/x)等价于((1+lnx)/(x-1)>k/x,当x∈(1.+∞)时，等价于k<(x+xlnx)/(x-1)恒成立,令g(x)=(x+xlnx)/(x-1),则g'(x)=(-2 + x - lnx)/(-1 + x)^2,考察分子，令h(x)=-2 + x - lnx，,h'(x)=1-1/x,在x∈(1.+∞)上，h'(x）>0恒成立，所以h(x)增，h(3)=1-ln3<0,h(4)=2-ln4>0,所以存在3<m<4便h(m)=0.即m-2-lnm=0,所以lnm=m-2,所以h(x)在（1，m)上为负，在（m,+∞)为正，从而g'(x)在（1，m)上为负，在（m,+∞)为正，故g(x）在x=m处取最小值g(m)=[m+m(m-2)]/(m-1)=m,故k<m，所以k<=3,
可参考2012年高考新课标全国卷最后一题

Answer 2

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