Question

问一题高二数学题

当θ取遍全体实数时，直线XCOSθ+YSINθ=4+根号2SIN（θ+1/4派）所围成的图形的面积是
A 派 B 4派 C 9派 D16派

Answer 1

xcosa+ysina=4+根号下2sin(a+π/4）

xcosa+ysina=4+(sina+cosa)

(x-1)cosa+(y-1)sina=4

无论a为何值，该直线始终是圆(x-1)^2+(y-1)^2=16的切线，为什么？

因为点(1,1)到直线(x-1)cosa+(y-1)sina=4的距离为

|(1-1)cosa+(1-1)sina-4|/根号(cos^2(a)+sin^2(a))=4 定值。

故a取遍所有值的话，整个平面除了圆(x-1)^2+(y-1)^2=16之外任一点都曾经过。

那么围成面积就是16π。

Answer 2

利用点到直线的距离公式可得点(1,1)到你所说的直线的距离为定值4，所以这些直线围成的图形是以（1，1）为圆心，4为半径的圆，从而面积是16Pi

Answer 3

D