Question

高阶无穷小怎么算？像o(x^3)=0吗？还是等于什么？

Answer 1

综述：

因为当 x 趋近于无穷小时，n 越大，x^n 越趋近于 0，所以当 n 足够大时，x^m (m≥n) 都非常非常接近于 0，以致于可以直接忽视他们，所以直接用一个符号 O(x^n) 来代替他们。

无穷小就是以数零为极限的变量。确切地说，当自变量x无限接近x0(或x的绝对值无限增大)时，函数值f(x)与零无限接近，即f(x)→0(或f(x)=0)，则称f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量。

例如，f(x)=(x-1)是当x→1时的无穷小量，f(n)=1/n是当n→∞时的无穷小量，f(x)=sinx是当x→0时的无穷小量。特别要指出的是，切不可把很小的数与无穷小量混为一谈。

这里值得一提的是，无穷小是可以比较的:假设a、b都是lim的无穷小，如果lim b/a=0，就说b是比a高阶的无穷小，记作b=ο(a)注:ο全称Omicron,读作[əʊˈmaɪkrɒn]，希腊字母。

比如b=1/x^2， a=1/x。x->无穷时，通俗的说，b时刻都比a更快地趋于0，所以称做是b高阶。假如有c=1/x^10,那么c比a b都要高阶，因为c更快地趋于0了。

Answer 2

先形象的解释一下（但不是严格推理），o(x)表示比x更高阶的无穷小，假如x=0.1，那么o(x)可以看做是0.01，而o(x^2)=o(0.01)可以看做是0.001，那么0.01+0.001=0.011这也是比x=0.1更高阶的无穷小，因此有o(x)+o(x^2)=o(x)。下面用o(x)的定义严格证明一下，如果一个无穷小量y（y是x的函数）满足limy/x=0（x趋于0时），就记y=o(x)，现在令y=o(x)，z=o(x^2)，根据定义有x趋于0时，limy/x=0，limz/x^2=0，那么我们来求极限lim(y+z)/x=lim(y/x)+lim(z/x)=lim(y/x)+limx*lim(y/x^2)=0，所以有y+z=o(x)，这就证明了o(x)+o(x^2)=o(x)。

Answer 3

高阶无穷小好像只是个符号，表示当x趋于0时它远小于括号里的内容。不是用来计算的，但如果用两个无穷小量相除没准会除出常量

追问

那式子中只有一个高阶无穷小怎么算？忽略吗？

追答

如果是计算近似值的话，那么忽略

追问

谢谢