(1) 证明:当a>1时,不等式a^3+1/a^3>a^2+1/a^2成立。 。。

2)要使上述不等式成立,能否将条件a>1适当放宽?若能,请放宽条件并说明理由。若不能,也请说明理由(3)请根据(1)(2)的证明,试写出一个类似的更为一般的结论... 2) 要使上述不等式成立,能否将条件a>1适当放宽?若能,请放宽条件并说明理由。若不能,也请说明理由
(3) 请根据(1)(2)的证明,试写出一个类似的更为一般的结论
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望望天涯路
2012-10-31 · TA获得超过4091个赞
知道小有建树答主
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(1)
证:a^3+1/a^3-(a^2+1/a^2)
=1/a^3(a^6+1-a^5-a)
=1/a^3(a^5-1)(a-1)
∵a>1
∴1/a^3(a^5-1)(a-1)>0
a^3+1/a^3-(a^2+1/a^2)>0
a^3+1/a^3>a^2+1/a^2>0
(2)若a<0 则a^3+1/a^3<0,而a^2+1/a^2>0
所以a>0
a>0,a^3>0
两边 x a^3 得
a^6+1>a^5+a
a^6-a^5-a+1>0
a^5(a-1)-(a-1)>0
(a^5-1)(a-1)>0
a>1时,a^5-1>0,a-1>0 不等式成立
a<1时,a^5-1<0,a-1<0 不等式也成立
所以当a>0且a≠1时,不等式a^3+1/a^3>a^2+1/a^2成立
(3)
当a>0且a≠1时,对任意实数x,y, x>y, x+y>0, 证明:a^x + 1/a^x > a^y + 1/a^y.
证:a^x + 1/a^x - (a^y + 1/a^y) = (a^x - a^y)(1- 1/(a^(x+y)))
当0<a<1时,a^x - a^y<0, 1- 1/a^(x+y)<0, 则a^x + 1/a^x - (a^y + 1/a^y) >0;
当a>1时,a^x -a^y >0, 1 - 1/a^(x+y) >0, 则a^x + 1/a^x - (a^y + 1/a^y) >0.
所以a^x + 1/a^x > a^y + 1/a^y.
gha2
2013-04-06
知道答主
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推广的一般形式为:
当a>0且a≠1时,对任意实数x,y, x>y, x+y>0, 证明:a^x + 1/a^x > a^y + 1/a^y.
证:a^x + 1/a^x - (a^y + 1/a^y) = (a^x - a^y)(1- 1/(a^(x+y)))
当0<a<1时,a^x - a^y<0, 1- 1/a^(x+y)<0, 则a^x + 1/a^x - (a^y + 1/a^y) >0;
当a>1时,a^x -a^y >0, 1 - 1/a^(x+y) >0, 则a^x + 1/a^x - (a^y + 1/a^y) >0.
所以a^x + 1/a^x > a^y + 1/a^y.
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159264837zxc
2012-10-31 · TA获得超过330个赞
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