Question

设A为列满秩矩阵，AB=C,证明线性方程Bx=0与Cx=0同解

Answer 1

首先, 若X是BX = 0的解, 则CX = ABX = 0, 即X也是CX = 0的解.

反之, 若X是CX = 0的解, 有ABX = CX = 0, 即Y = BX是AY = 0的解.

而由A列满秩, AY = 0只有零解, 故BX = Y = 0, 即X也是BX = 0的解。

综合两方面, BX = 0与CX = 0同解。

还有一种方法:

由A列满秩可得r(B) ≥ r(AB) ≥ r(A)+r(B)-n = r(B) (n表示A的列数), 故r(C) = r(AB) = r(B)。

因此BX = 0与CX = 0解空间维数相等，又易见前者的解空间包含于后者, 因此二者解空间相同。

扩展资料

举例：

设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，秩r(A)=n，证明齐次方程组ABx=0与Bx=0同解：

设α是齐次方程组Bx=0的解，则Bα=0．那么ABα=A(Bα)=A0=0，即α是方程组ABx=0的解．

若α是齐次方程组ABx=0的解，则ABα=0，那么Bα是齐次方程组Ax=0的解。因为秩r(A)=n，所以Ax=0只有0解，故Bα=O，从而α是齐次方程组Bx=0的解，因此ABx=0与Bx=0同解。

Answer 2

设ξ是Bx=0的任意解，那么Bξ=0，进而ABξ=0，即Cξ=0，这就说明ξ是Cx=0的一个解。
设η是Cx=0的任意解，那么Cη=0，进而ABη=0，由于A列满秩，只能Bη=0。

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示