设A为列满秩矩阵,AB=C,证明线性方程Bx=0与Cx=0同解
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首先, 若X是BX = 0的解, 则CX = ABX = 0, 即X也是CX = 0的解.
反之, 若X是CX = 0的解, 有ABX = CX = 0, 即Y = BX是AY = 0的解.
而由A列满秩, AY = 0只有零解, 故BX = Y = 0, 即X也是BX = 0的解。
综合两方面, BX = 0与CX = 0同解。
还有一种方法:
由A列满秩可得r(B) ≥ r(AB) ≥ r(A)+r(B)-n = r(B) (n表示A的列数), 故r(C) = r(AB) = r(B)。
因此BX = 0与CX = 0解空间维数相等,又易见前者的解空间包含于后者, 因此二者解空间相同。
扩展资料
举例:
设A是m×n矩阵,B是n×s矩阵,秩r(A)=n,证明齐次方程组ABx=0与Bx=0同解:
设α是齐次方程组Bx=0的解,则Bα=0.那么ABα=A(Bα)=A0=0,即α是方程组ABx=0的解.
若α是齐次方程组ABx=0的解,则ABα=0,那么Bα是齐次方程组Ax=0的解。因为秩r(A)=n,所以Ax=0只有0解,故Bα=O,从而α是齐次方程组Bx=0的解,因此ABx=0与Bx=0同解。
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设ξ是Bx=0的任意解,那么Bξ=0,进而ABξ=0,即Cξ=0,这就说明ξ是Cx=0的一个解。
设η是Cx=0的任意解,那么Cη=0,进而ABη=0,由于A列满秩,只能Bη=0。
设η是Cx=0的任意解,那么Cη=0,进而ABη=0,由于A列满秩,只能Bη=0。
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