Question

如图1所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠DCB=75°，已CD为一边的等边三角形DCE的另一顶点E在AB上

F为CD上一点，∠FBC=30°，求证：DF=FC

Answer 1

(1)∵∠BCD=75º，AD∥BC ∴∠ADC=105º
由等边△DCE可知：∠CDE =60º，故∠ADE =45º
由AB⊥BC，AD∥BC可得：∠DAB=90º ， ∴∠AED=45º
(2)方法一：由(1)知：∠AED=45º，∴AD=AE，故点A在线段DE的垂直平分线上．
由△DCE是等边三角形得：CD=CE，故点C也在线段DE的垂直平分线上．
∴AC就是线段DE的垂直平分线，即AC⊥DE
连接AC，∵∠AED =45º，∴∠BAC=45º，又AB⊥BC ∴BA=BC．
∴△ABC为等腰三角形
方法二：过D点作DF⊥BC，交BC于点
可证得：△DFC≌△CBE 则DF=BC
从而：AB=CB ∴△ABC为等腰三角形
（3）∵∠FBC=30º，∴∠ABF=60º
连接AF，BF、AD的延长线相交于点G，
∵∠FBC=30º，∠DCB=75º，∴∠BFC=75º，故BC=BF
由(2)知：BA=BC，故BA=BF，∵∠ABF=60º，∴AB=BF=FA，
又∵AD∥BC，AB⊥BC，∴∠FAG=∠G=30º
∴FG =FA= FB
∵∠G=∠FBC=30º，∠DFG=∠CFB，FB=FG
∴△BCF≌△GDF
∴DF=CF
明白吗？

Answer 2

连接AC，
因为三角形DCE是等边三角形
所以DE=DC=CE,∠DEC=∠EDC=∠ECD=60°
因为AD∥BC
所以,∠ADC+,∠BCD=180°,∠BAD+,∠ABC=180°
因为∠DCB=75°
所以∠ADC=105°
所以∠ADE=45°
因为AB⊥BC
所以∠B=90°
所以∠BAD=90°
所以∠AED=45°
所以∠AED=∠ADE
所以AD=AE
所以AC是线段DE的中垂线
∠EAC=1/2∠EAD=45°，∠ACE=1/2∠ECD=30°
所以三角形ABC是等腰直角三角形，AB=BC

因为∠FBC=30°
所以∠ABF=60°，∠BFC=75°
所以，∠BFC=∠DCB=75°
所以BC=BF
所以BF=BC=AB
所以△ABF是等边三角形

过点F作FG⊥AB于点G
则点G是AB的中点，且AD∥FG∥BC
所以DF=FC（平行线等分线段定理，或者是“过梯形一腰中点平行于底的直线必平分另一腰”）