Question

圆o是三角形ABC的内切圆,D,E,F是切点,点D,E,F分别在AB,BC,CA上,问:三角形DEF的形状.

Answer 1

为锐角三角形，
△DEF的三个内角∠AFD=∠DEF,∠BDE=∠DFE,∠CEF=∠EDF.（这是一个性质下面附图）
而∠AFD,∠BDE,∠CEF分别是等腰△ADF,等腰△BDE,等腰△CEF的底角，
∴ 2∠AFD，2∠BDE，2∠CEF都小于180°
∴∠AFD，∠BDE，∠CEF都小于90°
∴∠DEF，∠DFE，∠EDF也都小于90°，
则△DEF是锐角三角形。
∠CBF=∠BAC是因为∠CBE+∠CBF=90°
CD为直径，则∠DAB+∠BAC=90°
而BO=CO，则∠CBE=∠BCO
又∵∠BCO与∠DAB是同弧所对的圆周角
即∠DAB=∠BCO=∠CBE
∴∠CBF与∠BAC与等角互余则相等

Answer 2

为锐角三角形，
△DEF的三个内角∠AFD=∠DEF,∠BDE=∠DFE,∠CEF=∠EDF.（这是一个性质下面附图）
而∠AFD,∠BDE,∠CEF分别是等腰△ADF,等腰△BDE,等腰△CEF的底角，
∴ 2∠AFD，2∠BDE，2∠CEF都小于180°
∴∠AFD，∠BDE，∠CEF都小于90°
∴∠DEF，∠DFE，∠EDF也都小于90°，
则△DEF是锐角三角形。
∠CBF=∠BAC是因为∠CBE+∠CBF=90°
CD为直径，则∠DAB+∠BAC=90°
而BO=CO，则∠CBE=∠BCO
又∵∠BCO与∠DAB是同弧所对的圆周角
即∠DAB=∠BCO=∠CBE
∴∠CBF与∠BAC与等角互余则相等