Question

曲面积分及曲面法向量问题

我觉得法向量应该为（-2x,-2y,-1），即与答案中方向相反。
书上写的，当曲面方程为z=f(x,y)时，可看作F(x,y,z)=f(x,y)-z，所以法向量为（F对x求偏导，F对y求偏导，-1），所以为(-2x,-2y,-1)，如果按照答案中的(2x,2y,1)计算，得出的曲面积分差一个负号。



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Answer 1

(-2x,-2y,-1)与(2x,2y,1) 都是曲面的法向量，在做题时究竟用哪一个呢，这个问题与F(x,y,z)究竟是写成f(x,y)-z还是写成z-f(x,y)无关的，这类题的做法：先求出法向量，无论你求出的是(-2x,-2y,-1)还是(2x,2y,1)，下面都需要判断，我们究竟用哪个？

判断方法：与曲面的侧一致，该曲面是z=8-(x²+y²)，取上侧，这是旋转抛物面，开口向下，曲面的侧是取上侧，那么法向量就应该朝上，也就是说法向量与z轴正向的夹角为锐角，即法向量的第三个分量必须为正，因此选用：(2x,2y,1)

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Answer 2

曲面方程为z=f(x,y)时，看作F(x,y,z)=f(x,y)-z，法向量为(F对x求偏导，F对y求偏导，-1)。若看作F(x,y,z)=z-f(x,y)，法向量为(-F对x求偏导，-F对y求偏导，1)。

这里∑选择上侧，上侧法向量与z轴正半轴夹角不超过90°，所以上侧法向量的z坐标非负，所以这里
上侧的法向量应该是(-αz/αx,-αz/αy,1)=(2x,2y,1)