Question

在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.

已知A=π／4, bsin(π／4+c)-csin(π／4+B)=a.(1)求证：B-C=π／2;(2)若a=根号2，求三角形ABC的面积。

Answer 1

解：（1）a=bsin(π／4+C)-csin(π／4+B)=bsin(A+C)-csin(A+B)=bsinB-csinC ①
由正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R (R为三角形ABC外接圆半径)
得
a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
代入①式可得
2RsinA=2R(sinB)^2-2R(sinC)^2
于是
sinA=(sinB)^2-(sinC)^2=(1-cos2B)/2-(1-cos2C)/2=-(cos2B-cos2C)/2
=sin(B+C)sin(B-C)=sinAsin(B-C)
因sinA≠0，故有sin(B-C)=1，则B-C=π/2
（2）由正弦定理得2R=a/sinA=√2/(sinπ/4)=2
故b=2RsinB,c=2RsinC
故S△ABC=1/2*bcsinA=1/2*2RsinB*2RsinC*sin(π/4)
=1/2*2sinB*2sinC*√2/2
=√2/2*2sinBsinC=√2/2*[cos(B-C)-cos(B+C)]
=√2/2*[0-cos(3π/4)]=1/2
其中B+C=π-A=3π/4。