Question

在三角形ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c

已知cos ²A=sin ²B+cos ²C+sinAsinB.(1)求角C的大小；（2）若c=根号3，求三角形ABC周长的取值范围。

Answer 1

(1)利用三角函数关系1-sin ²A=sin ²B+1-sin ²C+sinAsinB

-sin ²A=sin ²B-sin ²C+sinAsinB

应用正弦定理，-a²=b²-c²+ab
c²=b²+a²+ab

根据余弦定理c²=a²+b²-2ab cosC
所以-2cosC=1
cosC=-1/2

所以C=2π/3

(2)根据正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC
又根据三角形内角和，有a/sinA=b/sin(π/3-A)=根号3/sin(2π/3)，且0＜A＜π/3
根据两角差的正弦公式a/sinA=b/[(根号3/2)cosA-(1/2)sinA]=2

所以a=2sinA
b=(根号3)cosA-sinA
于是周长为l=a+b+c=(根号3)cosA+sinA+根号3
l=2sin(A+π/3)+根号3
因为0＜A＜π/3
所以(根号3)/2＜sin(A+π/3)≤1
所以2(根号3)＜l≤2+根号3
即，2(根号3)＜a+b+c≤2+根号3