Question

一道二次函数与圆的方程，急求解答！

如图，已知抛物线y＝ax 2－5ax＋4a（a＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）试写出A、B两点的坐标：A(____，0)，B(____，0)；
（2）记经过A、B、C三点的圆为⊙M，若⊙M恰好与y轴相切于点C，试求抛物线的解析式；
（3）探究：在（2）中的抛物线的对称轴右侧图形上是否存在点P，使△PAC是以AC为一条直角边的直角三角形．若存在，试求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1) A(1,0), B(4,0)
(2) C点坐标为（0，4a），连接MC，有MC垂直于y轴，所以M坐标为（(1+4)/2，4a），即（2.5，4a），又，AB=4-1=3，MA=MC=2.5，则有(4a)^2=MA^2-(AB/2)^2，求得a=1/2
因此抛物线解析式为：y=1/2 x^2 - 5/2 x +2
(3)过A、C的直线方程易求，那么分别过C和A作AC的垂线与右侧抛物线分别相交于P和Q点，显然满足PCA及QAC均为直角三角形
AC方程是：y=-2x+2，其垂线方程是y=x/2 +k，其中：
以C点为垂足的垂线方程为y=x/2 +2，联立其与抛物线方程可解得P点坐标为（6，5）
以A点为垂足的垂线方程为y=x/2 -1/2，求得其与抛物线交点Q的坐标为（5，2）
以上两点均满足题目要求。

Answer 2

解：（1）利用根与系数关系求得A(1,0), B(4,0)。
（2）C点坐标为（0，4a），连接MC，有MC垂直于y轴，所以M坐标为（(1+4)/2，4a），即（2.5，4a），又，AB=4-1=3，MA=MC=2.5，则有(4a)^2=MA^2-(AB/2)^2，求得a=1/2
因此抛物线解析式为：y=1/2 x^2 - 5/2 x +2。
(3)过A、C的直线方程易求，那么分别过C和A作AC的垂线与右侧抛物线分别相交于P和Q点，显然满足PCA及QAC均为直角三角形
AC方程是：y=-2x+2，其垂线方程是y=x/2 +k，其中：
以C点为垂足的垂线方程为y=x/2 +2，联立其与抛物线方程可解得P点坐标为（6，5）
以A点为垂足的垂线方程为y=x/2 -1/2，求得其与抛物线交点Q的坐标为（5，2）
实际上，此题可以利用直径所对的圆周角是90度，很容易判断出点P是存在的。