高等数学幂级数小步骤，收敛半径具体步骤谢谢，要板书 20
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解：∵ρ=lim(n→∞)√丨an丨=lim(n→∞)2/[n^(1/n)]=2，∴收敛半径R=1/ρ=1/2。
而lim(n→∞)丨Un+1/Un丨=lim(n→∞)x^2/R<1，∴x^2<R=1/2，-√2/2<x<√2/2。
x=-√2/2时，是交错级数，满足莱布尼兹判别法的条件，收敛、x=√2/2时，是p=1的p-级数，发散。∴级数的收敛域为，x∈[-√2/2,√2/2)。
设S=∑[2^n/n]x^(2n+1)=(2x)∑[(√2)x]^(2n)/(2n)]，设y=√2x，则y∈[-1,1)在收敛域内，∑[(√2)x]^(2n)/(2n)]=∑y^(2n)/(2n)]=∑∫(0,y)y^(2n-1)=∫(0,y)dy/(1-y^2)=(1/2)ln[(1+y)/(1-y)]，
∴S=xln[(1+y)/(1-y)]=xln[(1+√2x)/(1-√2x)]，其中x∈[-√2/2,√2/2)。
供参考。
而lim(n→∞)丨Un+1/Un丨=lim(n→∞)x^2/R<1，∴x^2<R=1/2，-√2/2<x<√2/2。
x=-√2/2时，是交错级数，满足莱布尼兹判别法的条件，收敛、x=√2/2时，是p=1的p-级数，发散。∴级数的收敛域为，x∈[-√2/2,√2/2)。
设S=∑[2^n/n]x^(2n+1)=(2x)∑[(√2)x]^(2n)/(2n)]，设y=√2x，则y∈[-1,1)在收敛域内，∑[(√2)x]^(2n)/(2n)]=∑y^(2n)/(2n)]=∑∫(0,y)y^(2n-1)=∫(0,y)dy/(1-y^2)=(1/2)ln[(1+y)/(1-y)]，
∴S=xln[(1+y)/(1-y)]=xln[(1+√2x)/(1-√2x)]，其中x∈[-√2/2,√2/2)。
供参考。
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