Question

已知二重积分区域D由直线y=x,圆x^2+y^2=2y,以及y轴围成,求二重积分∫∫xydxdy

Answer 1

解法如下：

先求出直线y=x与圆的交点A（0,0）,B（1,1），明确积分区域

 

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Answer 2

用极坐标，x²+y²=2y的极坐标方程为：r=2sinθ
∫∫ xy dxdy
=∫∫ r³cosθsinθ drdθ
=∫[π/4→π/2] cosθsinθ dθ∫[0→2sinθ] r³ dr
=(1/4)∫[π/4→π/2] r^4cosθsinθ |[0→2sinθ] dθ
=4∫[π/4→π/2] cosθ(sinθ)^5 dθ
=4∫[π/4→π/2] (sinθ)^5 d(sinθ)
=(2/3)(sinθ)^6 |[π/4→π/2]
=(2/3)(1-1/8)
=7/12

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追问

r的范围不应该是（2sinθ→2）吗？怎么是（0→2sinθ）

追答

r指的是区域内的点与原点的距离，不是圆周上的点的范围。