Question

一道数学分析证明题，是关于cauchy收敛原理的，题目如下图，请各位大侠帮帮忙

Answer 1

柯西收敛准则: 数列收敛的充分必要条件是任给ε>0,存在N(ε),使得当n>N,m>N时，都有|am-an|<ε成立。
于是这道题, 我们假设m>n
因为xm-xn=1+a+a2+....+am -1-a-...an=an+a(n+1)+...am=an(1+a+...+a(m-n))
这是一个等比数列
求和公式为S=an(1-a(m-n))/(1-a) ->0 (因|a|<=1)
所以根据柯西收敛准则, 此数列收敛

追问

太笼统了，目的是能找到这样一个N,使得当n>N时，满足所有条件
能不能麻烦你帮我求出这个N，我求了老半天求不出来

追答

汗, 看来你是对柯西原理不理解
并不是求这个N, 这只是柯西原理的定义而已
你需要证明的是xm-xn的极限是0就可以了
在我的回答中, xm-xn=an(1-a(m-n))/(1-a) , 而在|a|<=1的条件下, 它的极限就是0

追问

我是数学专业的，现在做的都是证明题
证明的时候反推，要使得对于任意ε，都有|am-an|<ε，由不等式关系得出n小于一个关于ε的式子，令这个关于ε的式子为N。然后顺推此题得证。
所以说你说的太笼统了，其实这个题目的证明我只在一个小地方有疑问，但是这个星期没数学课了，下周一才有，我又比较心急，所以到百度来问问大家，看看大家会怎么证明

追答

呃, 我好像明白了, 你做题的时候是先想证明柯西收敛原理, 然后再用柯西收敛来证明这道题.
我们都是懒人, 我们只需要证明lim|am-an| →0 即可, 没有你想的那么复杂

既然你是数学专业的, 那么自然学的是大学数学A类的, 我们B类的没有你想的那么复杂

Answer 2

1,由于lima^(n+1)=0 ，则任给ε>0， 存在N1，当n>N1时有[abs(a)]^(n+1)<ε (N1=[(ε /lnabs(a)-1)]+1)
2,当n>N1时,对任意的p
有 (其中abs() 表示绝对值)
abs(xn+p-xn)=abs[a^(n+1)+a^(n+2)+....+a^(n+p)]=[abs(a)]^(n+1)*(1-abs(a)^p)/(1-abs(a))<[abs(a)]^(n+1)/(1-abs(a))<ε

追问

前面有当n>N1时有[abs(a)]^(n+1)[abs(a)]^(n+1)>ε
所以并没有证对

追答

晕死，你在1中对（1-abs(a))ε 也是存在N1 就是的啦[abs(a)]^(n+1)/(1-abs(a)）N1时有[abs(a)]^(n+1)N1时,对任意的p
有 (其中abs() 表示绝对值)
abs(xn+p-xn)=abs[a^(n+1)+a^(n+2)+....+a^(n+p)]=[abs(a)]^(n+1)*(1-abs(a)^p)/(1-abs(a))<[abs(a)]^(n+1)/(1-abs(a))<ε