Question

若a>b≥2,给定下列不等式成立的是

a+b≥2根号ab ab＞a+b 这两个都成立。我想知道的是，对于第一个来说，题目条件只是充分就可以？ 第二个怎么证明？

Answer 1

假设a+b≥2根号ab成立，则有a≥0、b≥0。
两边同时平方得，a^2+2ab+b^2≥4ab。
移向可得（a-b）^2≥0。
所以a+b≥2根号ab成立的充要条件是a≥0、b≥0。
题目条件是充要条件的一个子集，所以题目条件是a+b≥2根号ab成立的充分条件。

第二个，a>b≥2，所以ab≥2a，a+b<2a。所以ab＞a+b。（充分条件）
假设a≥2
1)当b<=0时，ab<=b，a+b>b，不等式不成立。
2)当0<b<1时，ab<2，a+b>2，不等式不成立。
3)当1<b<2时，令b=1+△，△>0，则ab=2+2△<a+b=3+△，不等式不成立。
所以a>b≥2是 ab＞a+b 成立的充要条件。

步骤好像复杂了点，但是我没想到好方法。抛砖引玉吧！

追问

我当时想的是同时除ab然后可以得到该结论。

Answer 2

对于a+b>=2根号ab，成立的充分条件是a>0且b>0, 而a>b>=2显然是a>0且b>0的子集，所以必然成立。
对于ab>a+b，
证明过程如下：
ab-（a+b）
=ab-(a+b)+1 -1
=(a -1)(b-1)-1
＞(2-1)(2-1)-1
=1-1=0
所以ab＞a+b

Answer 3

ab-a-b+1-1=a(b-1)-(b-1)-1
=(a-1)(b-1)-1
因为a>b≥2,所以a-1>1,b-1≥1
所以(a-1)(b-1)>1
即：ab-a-b>0
ab>a+b