Question

求问一道高中数学额必修5的简单线性规划例题~ 请好心的各位朋友们帮忙看下~ 先谢谢啦~

问题是这样的：某工厂计划生产甲、乙两种产品，这两种产品都需要两种原料。生产甲产品1工时需要A种原料3kg，B种原料1kg；生产乙产品1工时需要A种原料2kg，B种原料2kg。现有A种原料1200kg，B种原料800kg。如果生产甲产品每工时的平均利润是30元，生产乙产品每工时的平均利润是40元，问甲、乙两种产品各生产多少工时能使利润的总额最大？最大利润是多少？
解：设计划生产甲种产品x工时，生产乙种产品y工时，则获得利润总额为：f=30x+40y ①
其中x、y满足下列条件 3x+2y≤1200 ， x+2y≤800 ， x≥0 ，y≥0 ②
于是问题转化为，在x、y满足条件②的情况下，求式子 30x+40y 的最大值。
画出不等式组②表示的平面区域OABC(如图)。问题又可以转化为，在不等式组②表示的平面区域内找一点，把它的坐标代入式子 30x+40y时，使该式取最大值。
令 30x+40y=0，则此方程表示通过原点的一条直线, 记为L0. 易知，在区域OABC内有 30x+40y≥0. 考察这个区域内任意一点P(x，y)到L0的距离 d=|30x+40y|/√(30²+40²)= (30x+40y)/√(30²+40²)，于是
30x+40y=｛√(30²+40²)｝·d
这就是说，点P(x，y)到直线L0的距离d越大，式子30x+40y的值也越大。因此，问题就转化为：在不等式组②表示的平面区域内，找与直线L0距离最大的点。
为了在区域OABC内精确地找到这一点，我们平移直线L0到位置L，使L通过OABC内的某点，且OABC内的其他各点都在L的包含直线L0的同一侧，〖很容易证明该点到L0的距离最大。〗
请问各位，〖〗中的该点到L0的距离最大是怎样证明的？

Answer 1

因为d=|30x+40y|/√(30²+40²)= (30x+40y)/√(30²+40²)，
所以(30x+40y)最大，与d 最大等价；而(30x+40y)就是目标函数！
所以d最大与f=30x+40y 最大等价！

追问

谢谢， 我想可能是你看错我的问题了~ 我问的是如何证明“〖〗中的该点到L0的距离最大。”

追答

保持与阴影部分相交（保证是可行解），做L0的平行线，最远一条为L（即：O,B 之间，L与L0距离最远），L的方程中，30x+40y=1200为最大值

Answer 2

整个解题的过程非常好，可以说无懈可击。只是这一句话你不明白是吗？L是L0的平行线，在两平行线所夹的范围内，到L0直线距离最大的点，只有可能在L上，而不可能在其所夹范围内部的其它位置处。这的确可以说很容易证明。

追问

谢谢，但我想知道详细的证明过程~

Answer 3

阴影内任取一点p，过p,B分别做l0的垂线于o1,o2.过p做线段B O2的垂线于q.则d0=po1=qo2,d=BO2,因为BQ=BO2-QO2=d-d0>0故d最大