Question

求问一道高中数学必修5的简单线性规划问题，请好心的朋友们帮忙看下~ 谢谢啦~

问题是这样的：某工厂计划生产甲、乙两种产品，这两种产品都需要两种原料。生产甲产品1工时需要A种
原料3kg，B种原料1kg；生产乙产品1工时需要A种原料2kg，B种原料2kg。现有A种原料1200kg，B种原料
800kg。如果生产甲产品每工时的平均利润是30元，生产乙产品每工时的平均利润是40元，问甲、乙两种
产品各生产多少工时能使利润的总额最大？最大利润是多少？
解：设计划生产甲种产品x工时，生产乙种产品y工时，则获得利润总额为：f=30x+40y ①
其中x、y满足下列条件 3x+2y≤1200 ， x+2y≤800 ， x≥0 ，y≥0 ②
于是问题转化为，在x、y满足条件②的情况下，求式子 30x+40y 的最大值。
画出不等式组②表示的平面区域OABC (如图)。问题又可以转化为，在不等式组②表示的平面区域内找一点，把它的坐标代入式子 30x+40y时，使该式取最大值。
令 30x+40y=0，则此方程表示通过原点的一条直线, 记为L0. 易知，在区域OABC内有 30x+40y≥0. 考察这个区域内任意一点P(x，y)到L0的距离 d=|30x+40y|/√(30²+40²)= (30x+40y)/√(30²+40²)，于是 30x+40y=｛√(30²+40²)｝·d这就是说，点P(x，y)到直线L0的距离d越大，式子30x+40y的值也越大。因此，问题就转化为：在不等式
组②表示的平面区域内，找与直线L0距离最大的点。为了在区域OABC内精确地找到这一点，我们平移直线L0到位置L，使L通过OABC内的某点，且OABC内的其他
各点都在L的包含直线L0的同一侧，〖很容易证明该点到L0的距离最大。〗
请问各位，〖〗中的该点到L0的距离最大是怎样证明的？

Answer 1

就是向右上平移直线L0，只有经过B点时，两直线的距离最大，所以可行域内的B点到L0的距离最大

追问

谢谢，但我想知道有没有更规范些的证明格式或过程？

追答

这是课本上采用的方法：用数形结合与运动思想解决问题；
就是正规的解题格式，是比较简单的表达方式，好理解，

Answer 2

这题有点难度啊！！我觉得：需要教学经验丰富的老师讲解一下相关“线性规化”的规律和方法！！我个人觉得：统一教育网还不错！帮我解决了很多问题！

Answer 3

向右上方平移LO直线，当直线与图中绿色区域交于一点时，该点即为满足题意使利润最大的点。这这道题中，很明显这个点是B点。根据L1与L2相较于B点可求出该点坐标为（200,300），即最大利润为18000.
在类似的题目中，若是求满足题意的最小值，就将直线向左下方平移，相交的点就是满足题意的点。

Answer 4

甲的200,乙的300