Question

大一高数证明题：若an>0,且lim(n→∞)a(n+1)/a(n)=a，则lim（an^(1/n)）=a

有没有简单一点的证法

Answer 1

利用stolz定理，是最简单的做法
结论是明显的~~~

如果不用stolz定理，做法其实也不难~~
lim(n→∞)a(n+1)/a(n)=a
根据定义：
对任意ε>0，存在N>0，当N>N，就有|a(n+1)/a(n)-a|<ε
即有：(a-ε)<a(n+1)/an<(a+ε)
(a-ε)<an/a(n-1)<(a+ε)
(a-ε)<a(n-1)/a(n-1)<(a+ε)
……
(a-ε)<a(N+2)/a(N+1)<(a+ε)

因为各项同为正数，相乘：
(a-ε)^(n-N-1)<an/a(N+1)<(a+ε)^(n-N-1)

同时开n次方：
(a-ε)^[(n-N-1)/n]<(an/a(N+1))^(1/n)<(a+ε)^[(n-N-1)/n]

对上式同时取极限：
lim(n→∞) (a-ε)^[(n-N-1)/n]≤lim(n→∞) (an/a(N+1))^(1/n)≤lim(n→∞) (a+ε)^[(n-N-1)/n]
(a-ε)≤lim(n→∞) an^(1/n)≤(a+ε)
即：|lim(n→∞) an^(1/n) - a| ≤ ε
也就是说，对任意ε>0，都有|lim(n→∞) an^(1/n) - a| ≤ ε
故，lim(n→∞) an^(1/n) = a

有不懂欢迎追问

追问

利用stolz定理怎么做？？？看不懂额，；那个不是两个数列，这是一个啊？请给出做法和解释，谢谢

追答

stolz定理：
设有数列An,Bn 若Bn>0递增且有n→+∞时Bn→+∞
则有：

若lim(A(n+1)-An)/(B(n+1)-Bn)=L
则，lim(An)/(Bn)=L

因为lim a(n+1)/an=a，且an>0，
故a≥0
同取对数：
ln[lim a(n+1)/an]=lna
lim ln[a(n+1)/an] = lna
lim lna(n+1) - lnan = lna
即：
lim [lna(n+1) - lnan] / 1 =lna
进而构造：
lim [lna(n+1) - lnan] / [(n+1)-(n)] =lna
令，An=lnan ，Bn=n
原式变为：
lim(A(n+1)-An)/(B(n+1)-Bn)=lna
明显，Bn=n>0，单调递增，且n→+∞时Bn→+∞
根据stolz定理，就有
lim An/Bn=lna
即，
lim lnan / n = lna
即，
lim ln(an^(1/n)) = lna
即，
ln lim an^(1/n) =lna
因此，
lim an^(1/n) = a
有不懂欢迎追问

Answer 2

如果知道Stolz定理，就有简单证法。
lim ln(an)/n 这里用Stolz定理

=lim ln(a(n+1))-ln(an)
=lim ln(a(n+1)/a(n)
=lna，因此
lim an^(1/n)=a。
注：以上证明对a=0也适用，只需定义lna=负无穷即可。
不用Stolz定理的话，证明起来很麻烦的。

Answer 3

取对数
lim(n→∞)(ln(a[n+1])-ln(a[n]))=lna

lim(n→∞)（ln(a[n])/n）=lna——利用stolz定理
所以lim（an^(1/n)）=e^(lna)=a

有点抽象，欢迎追问

Answer 4

搞一张图片来，看不懂啊！