Question

limx→0 （（1+x∧（1/x））/e）∧（1/x）

还有一道，limx→0+ （sin3x）∧（1/（1+3lnx））谢谢了

Answer 1

解：limx→0 （（1+x）∧（1/x））/e）∧（1/x）
=limx→0 e^{1/x*ln[(1+x)^(1/x)/e]}
=e^ limx→0 1/x*{1/x*ln(1+x)-1]}
=e^ limx→0 {[ln(1+x)]/x-1}/x (0/0型用罗比达法则)
=e^ limx→0 {[1/(1+x)*x-ln(1+x)]/x^2}/1
=e^ limx→0 [1-1/(1+x)-ln(1+x)]/x^2 (0/0型用罗比达法则)
=e^ limx→0 [1/(1+x)^2-1/(1+x)]/(2x)
=e^ limx→0 [-1/2*1/(1+x)^2]
=e^(-1/2)

limx→0+ （sin3x）∧（1/（1+3lnx））
=limx→0+ e^[（1/（1+3lnx）*ln(sin3x)]
=e^ limx→0+ [ln(sin3x)]/(1+3lnx) (∞/∞型用罗比达法则)
=e^ limx→0+ [1/(sin3x)*3cos3x]/(3/x)
=e^ limx→0+ cos3x/3*3x/sin3x (3x~sin3x等价无穷小)
=e^(1/3)