Question

请问这道微积分题怎么答

Answer 1

为了方便计算，我们设t=x-1，x=1，那么t=0
那么原函数=t^a*sin1/t
因为t=0为可去间断点，那么也就是t=0时，存在极限t^a*sin1/t
因为sin1/t为有界函数，即使1/t为∞，sin1/t的绝对值也不会超过1。
有界函数*0=0，有界函数*∞=∞，此时即为极限不存在。
我们假设a＜0，不妨设a=-1
则lim t^-1*sin1/t=(sin1/t)/t，此时t=0，1/t也就是∞，所以lim (sin1/t)/t就不存在。
a也不能等于0，当a=0时，lim sin1/x不存在。
当x趋向于0时,1/x趋向于无穷大（正无穷大和负无穷大）,（无穷小量的倒数是无穷大量）,观察1/x的正弦图像可知,它是一条上下波动的曲线,最大值为1,最小值为-1.也就是说当1/x趋向于无穷大时,1/x的正弦值就无限趋近于正负1,它只是有界但并不单调.而根据极限的定义可知：极限值有且只有一个；单调有界数列极限必然存在.故它的极限并不存在.

所以a要＞0，此时极限=0