Question

f(x)是首项系数为1的n次整系数多项式,a1..an是n个两两不同的整数,且f(ai)=-1求证f（x）在有理数域上不可约

Answer 1

f(a_i)=-1，i=1...n
所以f（x）+1=0有n个不同的整数根a1..an，且[f（x）+1]首1
假设f（x）在有理数域上可约，不妨设f（x）=g（x）h（x），其中g（x）搭厅，h（x）属于Q[x]，次数都小于n，并且首1，则可知g（x），h（x）一定属于Z[x]，
所以g（x）h（x）=-1有n不同的整数根肢亩a_i，i=1..n

又因为g（a_1）h（a_1）=-1
所以g（a_1）+h（a_1）=0
所以以此下去得到g（x）+h（x）=0有n个不同的整数根，根据假设g（x）知饥隐+h（x）次数小于n，这显然是不可能的。