Question

设β1=α2+α3+α4+…+αm β2=α1+α3+α4+…+αm βm=α1+α2…+αm-1 求证α1…αm与β1…βm秩相等

Answer 1

因为 (β1,…,βm)=(α1,…,αm)K,
K =
0 1 ... 1
1 0 ... 1
... ...
1 1 ... 0

因为 |K|=(n-1)*(-1)^(n-1)≠0.
所以K可逆.所以 r(β1,…,βm)=r(α1,…,αm).

追问

这种方法我们还没有学~就是｜K｜这个，我们还没学，请问还有别的办法吗？

追答

|K| 是K的行列式, 这没学过?

追问

我们学校的教材编的比较奇葩，矩阵是第二章刚学完，行列式在第四章还没学。麻烦老师想个能简单理解的办法吧，谢谢。

追答

那么怎么判断一个矩阵是否可逆 这个学过没?
若 β1,…,βm 可由 α1,…,αm线性表示, 则 r(β1,…,βm)<=r(α1,…,αm). 这个学过没?

追问

矩阵可逆还没有学，后面的那个结论讲过，谢谢。

追答

由已知, β1+…+βm=(n-1)(α1+…+αm)
所以 α1+…+αm = [1/(n-1)](β1+…+βm)
所以 α1=[1/(n-1)](β1+…+βm)-(α2+α3+α4+…+αm)=[1/(n-1)](β1+…+βm)-β1
α2=[1/(n-1)](β1+…+βm)-(α1+α3+α4+…+αm)=[1/(n-1)](β1+…+βm)-β2
...
αm=[1/(n-1)](β1+…+βm)-(α1+α2+α3+…+αm-1)=[1/(n-1)](β1+…+βm)-βm
所以α1…αm与β1…βm可相互线性表示
故两个向量组的秩相同.

Answer 2

线性表出了。。。

追问

β能由α线性表出就说明秩相等吗？

追答

关键是求出两者之间的关系矩阵，利用矩阵的性质即可