Question

一个数学题目，求答案过程

如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=13，A（3，0），D（-1，0），E（0，3）．
（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；
（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；
（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．

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Answer 1

(1)解：已知抛物线与x轴交点，则解析式为y=a(x-3)(x+1)=ax^2-2ax-3a,与y轴交点为（0，3），则a=-1

故解析式为y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4,所以B(1,4)

(2)证明：向量EB=（1，1），向量EA=（3，-3），他们的点乘积是0，所以EA垂直于EB，故AB是三角形ABE外接圆的直径，（只需证明BC垂直于AB即可说明CB是切线。）

BE=√2，EA=3√2，所以tan∠EAB=EB/EA=1/3=tan∠CBE（题目中应该是1/3，不是13吧），

所以∠CBE=∠EAB，故∠CBA=∠CBE+∠EBA=∠EAB+∠EBA=90度，故CB垂直于BA，即BC是切线

(3)存在，点o即是所求点，此时tan∠DEO=OD/OE=1/3,故∠DEO=∠BAE,又有直角相等，故相似。此时P（0，0）

另外过D点作DP垂直于DE交y轴于P，角度DEP是不变的，则此时三角形DEP相似于三角形EAB，此时P（0，-1/3）

(4)见图1，此时E'点在F点左边

易得S1=S△O'A'E'=S△OAE=OA*OE/2=9/2,

S2=S△O'AK=O'K*O'A/2=(3-t)^2/2

S3=S△AGA'=GH*AA'/2=y*t/2=t^2

已求得F的横坐标为1.5

故重叠部分面积s=S1-S2-S3=9/2-(3-t)^2/2-t^2=3t-(3/2)t^2（0<t<=1.5）

见图2，此时E'在F点右边，

s=S△AKG=KG*O'A/2=(3-t)^2  (1.5<=t<=3)

当t>3时，s=0

综上

• s=3t-(3/2)t^2（0<t<=1.5）

• s=(3-t)^2  (1.5<=t<=3)

• s=0  (s>3)

 

 

Answer 2

　　(1)解：由题意，设抛物线解析式为y=a(x﹣3)(x+1)．
将E(0，3)代入上式，解得：a=﹣1．
∴y=﹣x2+2x+3．
则点B(1，4)．
(2)证明：如图1，过点B作BM⊥y于点M，则M(0，4)．
在Rt△AOE中，OA=OE=3，
∴∠AEO=∠EAO=45°，AE=3．
在Rt△EMB中，EM=OM﹣OE=1=BM，
∴∠MEB=∠MBE=45°，BE==．
∴∠BEA=180°﹣∠1﹣∠MEB=90°．
∴AB是△ABE外接圆的直径．
在Rt△ABE中，tan∠BAE===tan∠CBE，
∴∠BAE=∠CBE．
在Rt△ABE中，∠BAE+∠3=90°，∴∠CBE+∠3=90°．
∴∠CBA=90°，即CB⊥AB．
∴CB是△ABE外接圆的切线．
(3)解：Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE=，sin∠BAE=，cos∠BAE=；
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则△DEP必为直角三角形；
①DE为斜边时，P1在x轴上，此时P1与O重合；
由D(﹣1，0)、E(0，3)，得OD=1、OE=3，即tan∠DEO==tan∠BAE，即∠DEO=∠BAE
满足△DEO∽△BAE的条件，因此 O点是符合条件的P1点，坐标为(0，0)．
②DE为短直角边时，P2在x轴上；
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则∠DEP2=∠AEB=90°，sin∠DP2E=sin∠BAE=；
而DE==，则DP2=DE÷sin∠DP2E=÷=10，OP2=DP2﹣OD=9
即：P2(9，0)；
③DE为长直角边时，点P3在y轴上；
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则∠EDP3=∠AEB=90°，cos∠DEP3=cos∠BAE=；
则EP3=DE÷cos∠DEP3=÷=，OP3=EP3﹣OE=；
综上，得：P1(0，0)，P2(9，0)，P3(0，﹣)．
(4)解：设直线AB的解析式为y=kx+b．
将A(3，0)，B(1，4)代入，得解得
∴y=﹣2x+6．
过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y=3时，得x=，∴F(，3)．
情况一：如图2，当0＜t≤时，设△AOE平移到△DNM的位置，MD交AB于点H，MN交AE于点G．
则ON=AD=t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L．
由△AHD∽△FHM，得，即．
解得HK=2t．
∴S阴=S△MND﹣S△GNA﹣S△HAD=×3×3﹣(3﹣t)2﹣t•2t=﹣t2+3t．
情况二：如图3，当＜t≤3时，设△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE于点V．
由△IQA∽△IPF，得．即，
解得IQ=2(3﹣t)．
∴S阴=S△IQA﹣S△VQA=×(3﹣t)×2(3﹣t)﹣(3﹣t)2=(3﹣t)2=t2﹣3t+．
综上所述：s=．

Answer 3

1.BA=CA×EA

Answer 4

............你老是初几的还是高几的啊