Question

过点P(5,4)作直线l与圆O:x^2+y^2=25相交于A,B两点，若AP=2，求直线l被圆O截得的弦长，求直线l的方程

要详细过程，谢谢

Answer 1

因为直线x=5与圆相切，所以直线l方程不会是x=5
所以可以设直线l方程为y-4=k(x-5),即y=kx+4-5x
且设A B坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)
显然有x1<5,
所以|AP|=√(1+k^2)*(5-x1)=2
不妨记a=√(1+k^2)
所以x1=(5a-2)/a
带入直线方程有y1=(-2k-4a)/a
将(x1,y1)带入圆方程化简后有
9k^2-40k=0,
所以k=0，或k=40/9
当k=0时，直线方程为y=4,
所以容易求得A坐标为(3,4),B点坐标为(-3,4),
所以弦长|AB|=6，
当k=40/9时，将k带入直线有方程40x-9y-164=0，
由于对称性此时弦长也是6。

所以所求弦长为6，且直线l方程为:
y=0 或40x-9y-164=0。

Answer 2

以点p为圆心，以2为半径作圆，于圆o交点就是a点，联立方程组求解即可。