Question

函数f(x)=4^x-a*2^x+1在区间[0，1]上的最大值为3，求实数a的值

Answer 1

将函数配方：

       

在讨论a的取值范围对最大值的影响：（因为函数图像的对称轴为 a/2 ）

1.      a/2 <=  1.5：则在x=1处取最大值：f (1)=4-a*2+1=3        解得：a=1

2.      a/2 >    1.5：则在x=0处取最大值：f (0)=1-a+1=3            解得：a=-1（舍去）

   故有：a=1

Answer 2

这道题的原理是这样的：函数在闭区间上取到最值的可能点是1、闭区间的端点；2、一阶导数为零或者不存在的点。所以考虑求该函数一阶导数为零或者不存在的点，然后代入函数，再与闭区间的端点处的函数值作比较，让最大的为3，可算出a的值。
但是我在实际求解的过程中发现，该函数没有一阶导数不存在的点，只有驻点，不过形式比较复杂，不利于计算。
再观察该函数可发现，4^x可以写成2^x的平方，为了方便计算，可以令t=2^x，那么函数可简化为t平方—a*t+1，t的取值范围是[1,2]，那么该题目就变成了这个关于t的函数的最值问题，容易求出驻点为a/2，将其代数函数得1—a平方/4，另外将t=1和t=2代入函数分别得2—a和5—2a，容易发现只有当5—2a=3时，其才是最大值，故a=1。