Question

2012年江苏省数学高考试题的第19题，跪求简易解答方法。

若能利用准线求解第2问更好。

Answer 1

（1）解：由题设知a^2=b^2+c^2，e=c/a，由点（1，e）在椭圆上，得（1/a^2）+（c^2/a^2b^2）=1，∴b=1，c^2=a^2-1
由点（e，√3/2）在椭圆上，得（e^2/a^2）+（3/b^2）=1
∴椭圆的方程为x^2/2+y^2=1
（2）解：由（1）得F1（-1,0），F2（1,0），
又∵直线AF1与直线BF2平行，∴设AF1与BF2的方程分别为x+1=my，x-1=my
设A（X1，Y1），B（X2，Y2），Y1＞0，Y2＞0，
∴由x1^2/2+y1^2=1，x1+1=my1，可得（m^2+2）y1^2-2my1-1=0
∴y1=m+√（2m^2+2）/（m^2+2）
∴|AF1|=[√2（m^2+1）+m√（m^2+1）]/m^2+2······①
同理|BF2|=[√2（m^2+1）-m√（m^2+1）]/m^2+2······②
（i）由①②得|AF1|-|BF2|=[2m√（m^2+1）]/（m^2+2），∴[2m√（m^2+1）]/（m^2+2）=（√6）/2，解m^2=2.
∵注意到m＞0，∴m=√2．
∴直线AF1的斜率为1/m=（√2）/2.
（ii）证明：∵直线AF1与直线BF2平行，∴PB/PF1=BF2/AF1，即PF1=AF1/（AF1+BF2）×BF1.
由点B在椭圆上知，BF1+BF2=2√2，∴PF1=AF1/（AF1+BF2）×（2√2-BF2）.
同理PF2=BF2/（AF1+BF2）×（2√2-AF1）.
∴PF1+PF2=AF1/（AF1+BF2）×（2√2-BF2）+BF2/（AF1+BF2）×（2√2-AF1）=2√2-（2AF×BF2）/（AF1+BF2）
由①②得，AF1+BF2=2√2（m^2+1）/（m^2+2），AF1×BF2=（m^2+1）/（m^2+2）,
∴PF1+PF2=（3√2）/2.
∴PF1+PF2是定值.

Answer 2

你可以到“连云港数学老师陈老师博客”里去看一看，那里有多种解法。其地址是见上。