Question

高中数学必修二直线与平面垂直的证明

Answer 1

我提供最重要的十个结论：

立 体 几 何 中 的 线 面 关 系

1、 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 (由线线平行，得线面平行）
2、如果直线a和平面平行，经过a的平面若与相交，则交线必定平行于a．
（由线面平行，得线线平行）
3、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
（由线面平行，得面面平行）
4、如果平面∥平面，那么内的任一直线都与平行　　　　　　　（由面面平行，得线面平行）。
5、如果一个平面内有两条相交直线，分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两 个平面平行 （由线线平行，得面面平行）
6、如果两个平行平面都与第三个平面相交，那么它们的交线平行　（由面面平行，得线线平行）

线线垂直线面垂直面面垂直

7、 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线和这个平面互相垂直 （由线线垂直，得线面垂直）
8、如果直线l垂直于平面，那么直线l与平面内的任意一条直线都垂直。
（由线面垂直，得线线垂直）
9、如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直
（由线面垂直，得面面垂直）
10、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． （由面面垂直，得线面垂直）

三垂线定理
平面的一条斜线段垂直于平面内一条直线
斜线段在平面内的射影垂直于该直线．

Answer 2

　
令e1与e2是平面M内的两个相交直线a与b的方向向量，这由平面向量基本定理，平面内的任意直线L的方向向量p都可以表示成p=xe1+ye2,设直线c与a,b都垂直，则直线c的方向向量m与e1，e2都垂直，故m·e1=m·e2=0，m·p=x(m·e1)+y(m·e2)=0,于是m垂直于p，即c垂直于L。L是平面内的任意一条直线，故c垂直于平面M.