Question

在△ABC中，AB=AC,D是三角形外一点，且∠ABD＝60度， ∠ACD=60度，求证：BD+DC=AB

证明：延长BD至E，使BE=AB，
∵∠ABD=60°∴△ABE是等边三角形
同理可作等边三角形ACF
--->△ADE≌△ADC，△ADF≌△ADB
--->DE=DC,DF=DB
--->BD+DC=BD+DE=DF+DC=AC=AB

问题是：怎么证明全等的？或者 ，我做的不对？
初二的问题，没学四点共圆。

Answer 1

延长BD,并在BD的延长线上取一点M，使DM=CD，
角ADM=90度+1/2角BDC，
角ADC=角ADB+角BDC=90度-1/2角BDC+角BDC=90度+1/2角BDC，
所以角ADM=角ADC。
此时在三角形ACD和三角形ADM中，AD=AD，CD=DM，角ADC=角ADM，
所以三角形ADC全等于三角形ADM（SAS）。
所以AC=AM，又因为AB=AC，所以AM=AB。
又因为角ABD=60度，所以三角形ABM为等边三角形。
所以AB=BM，又因为CD=DM，所以AB=BD+DC

Answer 2

证明:延长BD到E,使BE=BA,连接AE,CE.
∠ABD=60度,则⊿ABE为等边三角形.
故AE=AB=AC=BE,∠ACE=∠AEC;∠AEB=60°.
又∠ACD=60°,则∠AEB=∠ACD.
∴∠DEC=∠DCE,DC=DE.
所以,BD+DC=BD+DE=BE=AB.
AB=BD+DC(证毕)

Answer 3

∵∠ABD＝∠ACD
∴ABCD四点共圆
∴∠DAC=∠DBC，∠ADB=∠ACB
∵∠ADB=∠DAE+∠E=∠DAE+60º，∠ACB=∠ABC=∠ABD+∠DBC=60º+∠DBC
∴∠DAE+60º=60º+∠DBC
∴∠DAE=∠DBC
∴∠DAC=∠DAE
∵AC=AB，AE=AB
∴AC=AE
∵AC=AE、∠DAC=∠DAE、 AD为共同边
∴△ADC≌△ADE
∴DC=DE
∴BD+DC=BD+DE=BE=AB.
补充回答“初二的问题，没学四点共圆”：
不用四点共圆，用三角形相似也可证明∠DAC=∠DBC，∠ADB=∠ACB。
设AC与BD交于O。
∵∠ABO＝∠OCD、∠AOB=∠DOC
∴⊿AOB∽⊿DOC
∴AO/BO=DO/CO
∵AO/BO=DO/CO、∠AOD=∠BOC
∴⊿AOD∽⊿BOC
∴∠DAO=∠OBC，∠ADO=∠OCB.