Question

设数列﹛an﹜的前n项和为Sn,若对于任意的正整数n都有Sn＝2an－3n.设bn=an+3,求证数列﹛bn﹜是等比数列。

2，求出﹛an﹜的通项。3，求数列﹛nbn﹜的前n项和。

Answer 1

解：（1）∵Sn=2an-3n，对于任意的正整数都成立
∴S(n-1)=2a(n-1)-3n-3
两式相减，得a(n+1)=2a(n+1)-2an-3，即a(n+1)=2an+3
∴a(n+1)+3=2(an+3)
所以数列{an+3}是以2为公比的等比数列
又因为bn=an+3
所以数列{bn}是以2为公比的等比数列

（2）由已知条件得：S1=2a1-3，a1=3
∴首项b1=a1+3=6，公比q=2
∴bn=6*2^(n-1)
∴an=[6*2^(n-1)]-3=[3*(2^n)]-3

（3）∵nan=3*n2^n-3n
∴Sn=3(1*2+2*2^2+3*2^3+…+n*2^n)-3(1+2+3+…+n)
2Sn=3[1*2^2+2*2^3+3*2^4+…+n*2^(n+1)]-6(1+2+3+…+n)
∴两式相减得：-Sn=3(2+22+23+…+2n)+3(1+2+3+…+n)
=[3*2(2^n-1)/(2-1)]-[6n*2^n]+[3n(n+1)/2]
∴Sn=[(6n-6)*(2^n)]-[3n(n+1)/2]+6

Answer 2

S1=a1，则a1=3,an=Sn-Sn-1=2()