Question

高中数学一道题目 希望大家帮帮忙！

设不等式组
x＞0y＞0y≤-nx+3n​
所表示的平面区域为Dn，n是正整数，记Dn内的整点个数为an（整点即横坐标和纵坐标均为整数的点）
求数列{an}的通项公式

Answer 1

把Dn补成一个长方形（0<x<3,0<y<3n，这是常用技巧，因为三角形的整点不好算，但长方形的很好算，然后我们只用减去对角线上的并取一半），于是在这个不包含边界的长方形内有2(3n-1)个整点（分别在直线x=1和x=2上），而直线y=-nx+3n与直线x=1和x=2也有两个交点（整点），于是Dn内的整点个数为an=（2（3n-1）-2）/2+2=3n（即三角形内的整点加上直线上的2个整点）

Answer 2

带入x=1，得y≤2n,所以x=1这条竖线上有2n个整点。
带入x=2，得y≤n ，所以x=2这条竖线上有n个整点。

带入x=3，得y≤0，所以x=3这条竖线上没有整点。

所以an=3n