Question

设函数f(x)=ax²+bx+1(a,b∈R) （1）若f(-1)=0,且对于任意实数x，f(x)≥0都成立，求f(x)的解析式

设函数f(x)=ax²+bx+1(a,b∈R)
（1）若f(-1)=0,且对于任意实数x，f(x)≥0都成立，求f(x)的解析式，
（2）在（1）的条件下，当x∈[-2,2]时，求函数Q(x)=ax²+btx+1的最大值g(t)

Answer 1

（1）∵f(-1)=0,且对于任意实数x，f(x)≥0都成立，
∴x=-1时，有最小值f(-1)=0,即-b/2a=-1,a-b+1=0
∴a=1,b=2.f(x)的解析式:f(x)=x²+2x+1
（2）在（1）的条件下，f(x)=x²+2x+1，函数y=x²+2tx+1的最小点为x0=-t.
当x∈[-2,2]时，若t>0,则x0<0,函数Q(x)=ax²+btx+1的最大值g(t)=Q(2)=4t+5
若t=0,则x0=0,函数Q(x)=ax²+btx+1的最大值g(t)=Q(±2)=5
若t<0,则x0>0,函数Q(x)=ax²+btx+1的最大值g(t)=Q(-2)=-4t+5

Answer 2

解：(1) 由已知得;a＞0
并且有: a-b+1=0 ①
-b／(2*a)=-1②
联合①和②得到;a=1,b=2
f(x)=x²+2x+1
（2）由上得知 f(x)=x²+2x+1 Q(x)=ax²+btx+1=x²+2tx+1
当2-（-t）＞-t-(-2)，即t>0时，函数Q(x)最大值在x=2处取得，这时g(2)=5+4t;
当2-（-t）=-t-(-2)，即t=0时，函数Q(x)最大值在x=2和x=-2处取得，这时g(2)=g(-2)=5;
当2-（-t）<-t-(-2)，即t<0时，函数Q(x)最大值在x=-2处取得，这时g(-2)=5-4t;

Answer 3

解：（1）由题意可知，f(x)是二次函数，f(-1)=0可得，a-b+1=0. f(x)>=0可得，-b/2a=0.
解关于a,b的方程组得，a=1,b=2.所以f(x)=x*2+2x+1.
(2)Q(x)=x*2+2tx+1=(x+t)*2+1-t*2,x=-t是对称轴，
当t>0时，Q（x）最大值为Q(2)=4t+5 ;
当t=0时，Q（x）最大值Q（-2）=Q(2)=5；
当t<0时，Q(x)最大值Q（-2）=-4t+5.