Question

已知函数f(X)=2sin(x-π/3)cos(x-π/3)+2根号3cos^2(x-π/3)-根号3,若函数y=f(2x)-a在区间

[0,π/4]上恰有两个零点x1,x2,求tan(x1+x2)的值

Answer 1

　　解：f(x)=2sin(x-π/3)cos(x-π/3)+2√3cos^2(x-π/3)-√3
　　=sin(2x-2π/3)+√3cos(2x-2π/3)
　　=2[sin(2x-2π/3)cosπ/3+cos(2x-2π/3sinπ/3]
　　=2sin(2x-2π/3+π/3)+1-√3
　　=2sin(2x-π/3)
　　故 f(2x)-a=2sin(4x-π/3)-a

　　当4x-π/3=π/2+kπ 时，y取最大值，此时x=5π/24+kπ（k∈Z）。
　　又∵在区间[0,π/4]中
　　∴对称轴为x=5π/24
　　∵两零点x1和x2关于x=5π/24对称。
　　∴x1+x2=5π/12
　　故tan（x1+x2）=tan（5π/12）
　　=tan（π/4+π/6）
　　=(1+√3 /3)/(1-√3 /3)
　　=2+√3

Answer 2

答案为2+根号3

用2倍角公式和辅助角公式可以将f（x）化简为：
f（x）=2sin（2x-π/3）
所以
y=f(2x)-a=2sin(4x-π/3)-a
y的周期为π/2,
当4x-π/3=π/2 时，y取最大值，此时x=5π/24,在区间[0,π/4]上中。x=5π/24是y的一条对称轴。
所以x1和x2关于5π/24对称。
所以tan（x1+x2）=tan（2*5π/24）=tan（5π/12）=tan（π/4+π/6）=(1+根号3 /3)/(1-根号3 /3)
=2+根号3