Question

为什么e^(-x)求的是(n-1)阶麦克劳林公式，而不是n阶

为什么e^(-x)求的是(n-1)阶麦克劳林公式，而不是n阶高数、泰勒公式、麦克劳林公式

Answer 1

麦克劳林公式 是泰勒公式（在x。=0下）的一种特殊形式。
若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和：
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!·x^2,+f'''(0)/3!·x^3+……+f(n)(0)/n!·x^n+Rn
其中Rn是公式的余项，可以是如下：
1.佩亚诺(Peano)余项：
Rn(x) = o(x^n)
2.尔希-罗什(Schlomilch-Roche)余项：
Rn(x) = f(n+1)(θx)(1-θ)^(n+1-p)x^(n+1)/(n!p)
[f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)]
3.拉格朗日(Lagrange)余项：
Rn(x) = f(n+1)(θx)x^(n+1)/(n+1)!
[f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)]
4.柯西(Cauchy)余项：
Rn(x) = f(n+1)(θx)(1-θ)^n x^(n+1)/n!
[f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)]
5.积分余项：
Rn(x) = [f(n+1)(t)(x-t)^n在a到x上的积分]/n!
[f(n+1)是f的n+1阶导数]

Answer 2

因为xe^-x在第n阶的时候为0，所以就没有了，然后后面是低阶无穷小就就可以表示加了0之后的高阶无穷小，所以是这么个结果