Question

AB是圆O的直径，BC是圆O的切线，切点为B,D是圆O上一点，CD=CB,连接AD.OC.OC交圆O于E,交BD于F.

1）求证：CD是圆O的切线；（2）求证：∠BCD=2∠ABD；（3）求证：E是△BCD的内心；（4）若∠BCD=60°，求EF/CE的值。

Answer 1

(1)连接OD,
∵AB是圆O的直径，BC是圆O的切线
∴∠CBO=90°
∵OD=OB,CD=CB,OC=OC
∴△COD≌△COB
∴∠CDO=∠CBO=90°
∴CD是圆O的切线
（2）∵CB、CD都是圆O的切线
∴CO平分∠BCD
∴∠BCD=2∠BCO，
∵CD=CB，
∴CO⊥BD
∵∠CBO=90°
∴∠ABD=∠BCO
∴∠BCD=2∠BCO
（3）连接BE，AE
∵AB是圆O的直径
∴∠AEB=90°
∴∠BAE+∠ABE=90°，
∵∠CBE+∠ABE=90°
∴∠CBE=∠BAE
∵∠BOE=∠DOE
∴∠DBE=∠BAE
∴∠CBE=∠DBE
∵CE平分∠BCD
∴E是△BCD的内心
（4）若∠BCD=60°，则△BCD是等边三角形，
因为E是△BCD的内心，
所以E也是△BCD的外心，
BE=CE,∠EBF=30°，∠BFE=90°
则有EF/BE=1/2
所以EF/CE的值是1/2。
请参考。