Question

设f（x）在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，f(a)=a,∫(a,b)f(x)dx=1/2(b^2-a^2)

求证：在（a，b）内至少有一点ξ,使得f'（ξ）=f(ξ)-ξ+1

Answer 1

由∫(a,b)f(x)dx=1/2(b^2-a^2)可知存在c>a，使得f(c)=c。否则，对任意的c>a，
有f(c)<c或者f(c)>c成立。令g(x)=f(x)-x，则g(x)在(a，b]上取值非零，有连续函数的介值性质知道g(x)是恒正或恒负函数，此时必有f(x)>x或f(x)<x恒成立，于是∫(a,b)f(x)dx>∫(a,b)xdx=1/2(b^2-a^2)，或∫(a,b)f(x)dx<∫(a,b)xdx=1/2(b^2-a^2)，与条件矛盾。
令F(x)=e^(-x)(f(x)-x)，则F(a)=F(c)=0，F'(x)=e^(-x)(f'(x)-f(x)+x-1)，由Rolle中值定理可得结果。

Answer 2

靠，这问题都要百度。

追问

那你帮我写出详细步骤啊，不要照书上的。。。