Question

谁来解释一下用辗转相除法求最两个数的最大公约数原理

Answer 1

辗转相除法求最大公约数原理：
设两数为a、b(a>b)，用gcd(a,b)表示a，b的最大公约数，r=a (mod b) 为a除以b的余数，k为a除以b的商，即a÷b=k.......r。辗转相除法即是要证明gcd(a,b)=gcd(b,r)。
第一步：令c=gcd(a,b)，则设a=mc，b=nc
第二步：根据前提可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c
第三步：根据第二步结果可知c也是r的因数
第四步：可以断定m-kn与n互质(假设m-kn=xd，n=yd (d>1)，则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)cd，b=nc=ycd，则a与b的一个公约数cd>c，故c非a与b的最大公约数，与前面结论矛盾)，因此c也是b与r的最大公约数。
从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r)。
证毕。
以上步骤的操作是建立在刚开始时r≠0的基础之上的。即m与n亦互质。

Answer 2

m=7560
n=2700
r=2160
m=2700
n=2160
r=540
m=2160 n=540
r=0
所以2700和7560最大公约数是540
然后在还用540和3960求最大公约数
m=3960
n=540
r=180
m=540
n=180
r=0
所以3个数最大公约数是180