Question

计算不定积分

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Answer 1

Answer 2

好题，
设√tanx=t，则tanx=t²
∴x=arctan(t²)
dx=2t/(1+t^4)·dt

∫√tanx·dx
=∫t·2t/(1+t^4)·dt
=2∫t²/(1+t^4)·dt

设P=∫t²/(1+t^4)·dt
Q=∫1/(1+t^4)·dt

则
P+Q=∫(t²+1)/(1+t^4)·dt
=∫(1+1/t²)/(1/t²+t²)dt
=∫1/(1/t²+t²)d(t-1/t)
=∫1/[(t-1/t)²+2]d(t-1/t)
=1/√2·arctan[(t-1/t)/√2]+C
=1/√2·arctan[(t²-1)/(√2t)]+C

P-Q=∫(t²-1)/(1+t^4)·dt
=∫(1-1/t²)/(1/t²+t²)dt
=∫1/(1/t²+t²)d(t+1/t)
=∫1/[(t+1/t)²-2]d(t+1/t)
=√2/4·ln[(t²+1-√2·t)/(t²+1+√2·t)]+C

所以，
P=√2/4·arctan[(t²-1)/(√2t)]
+√2/8·ln[(t²+1-√2·t)/(t²+1+√2·t)]+C

所以，
∫√tanx·dx=2P
=√2/2·arctan[(t²-1)/(√2t)]
+√2/4·ln[(t²+1-√2·t)/(t²+1+√2·t)]+C

=√2/2·arctan[(tanx-1)/√(2tanx)]
+√2/4·ln{[tanx+1-√(2tanx)]/[tanx+1+√(2tanx)]}+C