Question

高等数学-证明题- 中值定理 f(a)g(b)-f(b)g(a)=(b-a)(f(a)g'(ξ)-f'(ξ)g(a))

f(x),g(x)在[a,b]上连续, 在(a,b)内可导, 证明存在ξ∈(a,b) 使得 f(a)g(b)-f(b)g(a)=(b-a)(f(a)g'(ξ)-f'(ξ)g(a)).

Answer 1

令F(x)=f(a)g(x)-f(x)g(a)
则F(b)=f(a)g(b)-f(b)g(a)
F(a)=f(a)g(a)-f(a)g(a)=0
∵f(x),g(x)在[a,b]上连续, 在(a,b)内可导
∴F(x)=f(a)g(x)-f(x)g(a)在[a,b]上连续, 在(a,b)内可导
∴存在ξ∈(a,b) 使得[F(b)-F(a)]/(b-a)=F'(ξ)
整理后即得所证

Answer 2

证明如下：
设H(x)=f(a)g(x)-f(x)g(a);
H(b)=f(a)g(b)-f(b)g(a);
H(a)=f(a)g(a)-f(a)g(a)=0;
由中值定理可得:
存在ξ在区间（a，b）内的一实数,使得

H(b)-H(a)/b-a=f(a)g(b)-f(b)g(a)/b-a=H‘(ξ)成立;

两遍同乘以因子b-a;
f(a)g(b)-f(b)g(a)=(b-a)(f(a)g'(ξ)-f'(ξ)g(a)

得证

主要就是函数H(x)的确定，微积分中值定理、柯西定理等，是考研的一个难点，陈文灯的高数一本书，对这些内容讲解很好，可以参阅

Answer 3

令h(x)=f(a)g(x)-f(x)g(a),在（a,b）上使用拉格朗日中值定理即可

Answer 4

f(a)g(b)-f(b)g(a)=(b-a)[f(a)g'(ξ)-f'(ξ)g(a)]
[f(a)-f(b)]/(a-b)=f'(ξ);[g(a)-g(b)]/(a-b)=g'(ψ);
f(a)=(a-b)f'(ξ)+f(b)=f(b)-(b-a)f'(ξ);
g(a)=(a-b)g'(ψ)+g(b)=g(b)-(b-a)g'(ψ);
f(a)/g(a)=[f(b)-(b-a)f'(ξ)]/[g(b)-(b-a)g'(ψ)]
f(a)[g(b)-(b-a)g'(ψ)]=g(a)[f(b)-(b-a)f'(ξ)];
f(a)g(b)-f(b)g(a)=(b-a)[f(a)g'(ψ)-f'(ξ)g(a)]
当ψ=ξ时，f(a)g(b)-f(b)g(a)=(b-a)[f(a)g'(ξ)-f'(ξ)g(a)]