Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90,AC=BC,P是△ABC内的一点，且PA=6，PB=2，PC=4，则∠BPC=？？？

如图，在△ABC中，∠ACB=90,AC=BC,P是△ABC内的一点，且PA=6，PB=2，PC=4，则∠BPC=？？？

Answer 1

如图,在三角形形外作CM=CP,BM=AP

易知△CMB≌△CPA

∴∠MCP=90°    ∠1=45°

PM²=MC²+PC²=32

又∵MB=6   PB=2

∴PB²+PM²=BM²

∴∠2=90°

∴∠BPC=∠1+∠2=135°

 

上面简写了，有那一步不懂请追问

Answer 2

令等腰直角三角形ABC中AC⊥BC，且AC＝BC＝a。
过P作PD⊥AC交AC于D、作PE⊥BC交BC于E。不失一般性地令PA＝2、PB＝6、PC＝4。
再设PD＝x、PE＝y。
容易证得：PDCE是矩形。
由勾股定理，有：x^2＋y^2＝16、（a－y）^2＋x^2＝4、（a－x）^2＋y^2＝36。

由（a－y）^2＋x^2＝4，得：a^2－2ay＋x^2＋y^2＝4，∴a^2－2ay＝－12，
∴y＝（a^2＋12）/（2a）。
由（a－x）^2＋y^2＝36，得：a^2－2ax＋x^2＋y^2＝36，∴a^2－2ax＝20，
∴x＝（a^2－20）/（2a）。
将x＝（a^2－20）/（2a）、y＝（a^2＋12）/（2a）代入到x^2＋y^2＝16中，得：
［（a^2－20）/（2a）］^2＋［（a^2＋12）/（2a）］^2＝16，
∴（a^2－20）^2＋（a^2＋12）^2＝64a^2，
∴a^4－40a^2＋400＋a^4＋24a^2＋144－64a^2＝0，
∴2a^4－80a^2＋544＝0，
∴a^4－40a^2＋272＝0，其判别式＝1600－4×272＝2×16^2，
∴a^2＝（40＋16√2）/2＝20＋8√2，或a^2＝（40－16√2）/2＝20－8√2。

一、当a^2＝20＋8√2时，
cos∠APC＝（4＋16－20－8√2）/（2×2×4）＝－√2/2，∴∠APC＝135°。
二、当a^2＝20－8√2时，
cos∠APC＝（4＋16－20＋8√2）/（2×2×4）＝√2/2，∴∠APC＝45°。

综上一、二所述，得：满足条件的夹角为135°或45°。

追问

为什么有两个答案？？