Question

如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交BC的延长线与F，垂足为D,AC的垂直平分线交CB的延长线于G，垂足为E

求证：∠BAG=∠CAF;AG=AF

Answer 1

证明：因为AB的垂直平分线交BC的延长线于F
所以AF=BF
所以角ABC=角BAF=角BAC+角CAF
因为AC的垂直平分线交CB的延长线于G
所以AG=CG
所以角ACB=角CAG=角BAC+角GAF
因为AB=AC
所以角ABC=角ACB
(1)所以角BAG=角CAF
因为角ABC=角BAG+角AGF
角ACB=角CAF+角AFG
所以角AGF=角AFG
(2)所以AG=AF

Answer 2

∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB
∴∠ABG=∠ACF
∵DF垂直平分AB，GE垂直平分AC
∴BD=1/2AB，CE=1/2AC
∠FDB=∠GEC=90°
∴BD=CE
在△BFD和△CGE中
∠FDB=∠GEC，∠DBF=∠ECG(∠ABC=∠ACB)
∴△BFD≌△CGE(AAS)
∴BF=CG
∴BF-BC=CG-BC
即BG=CF
在△ABG和△ACF中
AB=AC，BG=CF，∠ABG=∠ACF
∴△ABG≌△ACF(SAS)
∴∠BAG=∠CAF
AG=AF

Answer 3

用边角边，可证明直角三角形AEG与CEG全等，∠GAE=∠ACB
同理可证，直角三角形ADF与BDF全等，∠DAF=∠ABC
所以∠GAE=∠DAF，所以∠BAG=∠CAF
做∠BAC的平分线AH，交BC于H，根据等腰三角形的性质可知，AP垂直于BC
∠GAH=∠BAG+∠BAH=∠CAF+∠CAH=∠FAH，所以AH是角GAF的平分线，

所以三角形AFG是等腰三角形，AG=AF
证毕

Answer 4

证明：
∵AB＝AC
∴∠ABC＝∠ACB
∵DF垂直平分AB
∴AF＝BF
∴∠BAF＝∠ABC
∵EG垂直平分AC
∴AG＝CG
∴∠CAG＝∠ACB
∴∠BAF＝∠CAG
∵∠BAG＝∠CAF-∠BAC，∠CAF＝∠BAF-∠BAC
∴∠BAG＝∠CAF
∵∠ABG＝180-∠ABC，∠ACF＝180-∠ACB
∴∠ABG＝∠ACF
∴△ABG≌△ACF （ASA）
∴AG＝AF

Answer 5

证明：∵AB的垂直平分线交BC的延长线与F
∴AF=BF
∴∠FAB=∠FBA
∵AC的垂直平分线交CB的延长线于G
∴AG=CG
∴∠GAC=∠GCA
∵AB=AC
∴∠FBA=∠GCA
∴∠GAC=∠FAB
∵∠BAG=∠GAC-∠BAC，∠CAF=∠FAB-∠CAB
∴∠BAG=∠CAF
∵∠ABG=180°-∠ABC，∠ACF=180°-∠ACB
∴∠ABG=∠ACF
∴△ABG≌△ACF（ASA）
∴AG=AF