Question

已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x+2)=-f(x),若X大于等于0小于等于1时，f(x)=1/2x

1.求当X大于等于-1小于等于3时函数解析式
2.求使f(x)=-1/4成立的所有X

Answer 1

已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x+2)=-f(x),若X大于等于0小于等于1时，f(x)=1/2x
1.求当X大于等于-1小于等于3时函数解析式2.求使f(x)=-1/4成立的所有X

(1)解析：∵函数f(x)是定义在R上的奇函数
∴f(0)=0,f(-x)=-f(x)
∵函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)
令x=x+2
代入上式得f(x+4)=-f(x+2)=f(x)
∴函数f(x)是以4为周期的周期函数
∵当0<=x<=1时，f(x)=1/2x
∴当-1<=x<=0时，f(-x)=-1/2x==>f(x)=-f(-x)=1/2x
若函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是其一个周期。
4|a-b|=4==>|0-b|=1==>b1=-1,b2=1
∴函数f(x)关于直线x=-1或x=1对称
∴当1<=x<=3时，
令x=2-x，代入f(2-x)=1/2(2-x)=1-1/2x
∴当X大于等于-1小于等于3时函数解析式为：
当0<=x<=1时，f(x)=1/2x；
当1<=x<=3时，f(x)=1-1/2x；
(2)解析：在定义域R内，使f(x)=-1/4成立的所有X
1/2x=-1/4==>x=-1/2；1-1/2x=-1/4==>x=5/2
∴使f(x)=-1/4成立的所有x1=4k-1/2,x2=4k+5/2 (k∈Z)