Question

不定积分1/(根号下x-三次根号下x)

Answer 1

令x^(1/6)=u，则x=u^6，dx=6u^5du，√x=u³，x^(1/3)=u²
∫ 1/[x^(1/2) - x^(1/3)] dx
=∫ 6u^5/(u³-u²) du
=6∫ u³/(u-1) du
=6∫ (u³-1+1)/(u-1) du
=6∫ (u²+u+1) du + 6∫ 1/(u-1) du
=2u³ + 3u² + 6u + 6ln|u-1| + C
=2√x + 3x^(1/3) + 6x^(1/6) + 6ln|x^(1/6) - 1| + C

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追问

不定积分1/(根号下x+三次根号下x)

追答

照葫芦画瓢就行了。
令x^(1/6)=u，则x=u^6，dx=6u^5du，√x=u³，x^(1/3)=u²
∫ 1/[x^(1/2) + x^(1/3)] dx
=∫ 6u^5/(u³+u²) du
=6∫ u³/(u+1) du
=6∫ (u³+1-1)/(u+1) du
=6∫ (u²-u+1) du - 6∫ 1/(u+1) du
=2u³ - 3u² + 6u - 6ln|u+1| + C
=2√x - 3x^(1/3) + 6x^(1/6) - 6ln|x^(1/6) + 1| + C

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